녀의 입술을 맛보지 않으면 ㈎ 가우시안 요인 코퓰러 모델

녀의 입술을 맛보지 않으면 못 견딜 것 같았다.
진우의 얼굴에서 장난기가 사라졌다.
진우의 입술이 이마에 살포시 닿았다.
그리고 콧등으로 선을 그리며 내려 갔다.
입술 근처까지 갔다 볼을 타고 다시 눈두덩에 와 닿았다.
그리곤 다시 귓가를 거쳐 윗 입술에 닿으려 하다 입김만 남기고 다시 떠나갔다.
마치 먹을 것을 앞에 두고 아까워서 못먹고 주저 하는 아이처럼 그는 쉽게 키스를 할 수가 없었다.
어느 듯 반쯤 입술을 열고 그의 침입을 기다리던 명채는 감질이나 자신도 모르게 신음을 하였다.
그 순간 진우의 입술이 명채의 입술에 힘있게 닿더니 그의 숨결을 불어 넣어 주었다.
명채는 그 감미로운 감각에 몸에 힘이 빠져 나갔다.
이성도 모두 달아 나 버렸다.
여기가 어딘지는 이미 잊어 먹었다.
그의 혀가 입안 가득 파고 들어 온곳에 흔적을 남기며 지나갔다.
명채는 두손으로 그의 머리

가우시안 요인 코퓰러 모델
가우시안 요인 코퓰러 모델은 부채담보부증권의 가격을 결정하기 위하여 시장에 부도사건을 유발하는 공통요인과 개별 회사의 독립적인 요인이 있다고 가정하고, 이를 바탕으로 부도 상관관계를 설명하는 모델을 만들어 이를 통해 각 트랜치의 수익률을 구하는 모델이다.가우시안 요인 코퓰러 모델은 제목에만 코퓰러가 있고 내용에는 코퓰러가 사용되지 않은 것처럼 보이지만 실제로는 가우시안 코퓰러를 이용한 모델과 본질적으로 동일하다.

목차
1.가우시안 요인 코퓰러 모델의 개요2.부도발생 요인을 나타내는 확률변수3.조건부 누적분포함수4.부채담보부증권의 가격 결정5.같이 읽기6.참고 문헌

가우시안 요인 코퓰러 모델의 개요
가우시안 코퓰러 모델을 사용하기 위해서는 코퓰러에 대한 이해가 필수적인데 많은 시장 참여자들에게 코퓰러는 쉽지 않은 개념이다.따라서 코퓰러에 대한 이해 없이도 모델을 사용할 수 있도록 하기 위하여 시장에 부도사건을 유발하는 공통요인과 개별 회사의 독립적인 요인이 있다고 가정하고 이로부터 부도 상관관계를 설명하는 정규분포들을 만들고 이 정규분포들의 관계를 통해 부도확률변수를 규정하는 가우시안 요인 코퓰러 모델을 도입하였다.

부도발생 요인을 나타내는 확률변수
전체 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@개의 회사에 대하여 확률변수 @@NAMATH_INLINE@@T_i@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@ 번째 회사의 부도발생 시간을 나타내고 누적분포함수가 @@NAMATH_INLINE@@F_i@@NAMATH_INLINE@@로 주어진다고 하자.
또한 부도가 발생하게 되는 모든 회사들의 공통요인을 나타내는 표준정규분포 @@NAMATH_INLINE@@X@@NAMATH_INLINE@@, 개별 기업에만 관련이 있는 부도발생 요인인 표준정규분포 @@NAMATH_INLINE@@Y_i@@NAMATH_INLINE@@가 있고 이들은 모두 서로 독립이라고 가정하자.그리고 각 기업의 부도발생 요인은 공통요인과 개별 기업만의 요인의 선형 합으로 주어진다고 하자.
즉 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@ 번째 기업의 부도발생 요인을 나타내는 확률변수를 @@NAMATH_INLINE@@Z_i@@NAMATH_INLINE@@라고 하면 0과 1 사이의 상수 @@NAMATH_INLINE@@a_i@@NAMATH_INLINE@@에 대하여@@NAMATH_DISPLAY@@Z_i = a_i X +\sqrt{1-a_i^2} Y_i @@NAMATH_DISPLAY@@로 주어진다고 가정한다.만일 어떤 회사의 부도가 개별 기업에서의 이유가 아니고 시장 공통 요인에 의해 주로 발생한다면 @@NAMATH_INLINE@@a_i@@NAMATH_INLINE@@는 1에 가깝고, 반대로 시장 공통 요인 보다는 개별 기업의 문제에 의해 주로 발생한다면 @@NAMATH_INLINE@@a_i@@NAMATH_INLINE@@는 0에 가깝다.
또한 @@NAMATH_INLINE@@Z_i@@NAMATH_INLINE@@의 기댓값이 0이고 분산이 1이기 때문에 @@NAMATH_INLINE@@Z_i@@NAMATH_INLINE@@ 역시 표준정규분포를 따른다.

조건부 누적분포함수
@@NAMATH_INLINE@@Z_i@@NAMATH_INLINE@@의 누적분포함수를 @@NAMATH_INLINE@@H_i@@NAMATH_INLINE@@라고 하면 개별 기업의 부도 발생 시간을 나타내는 확률변수 @@NAMATH_INLINE@@T_i@@NAMATH_INLINE@@를 이용하여 임의의 양수 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@에 대하여 @@NAMATH_INLINE@@z(t)@@NAMATH_INLINE@@를 다음과 같이 정의한다.
@@NAMATH_DISPLAY@@z(t)=H^{-1}(T_i(t)) @@NAMATH_DISPLAY@@그러면 @@NAMATH_INLINE@@T_i(t)=H(z(t))@@NAMATH_INLINE@@이므로 @@NAMATH_INLINE@@z(t)@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@ 이전에 부도가 날 확률과 @@NAMATH_INLINE@@Z_i@@NAMATH_INLINE@@가 @@NAMATH_INLINE@@z(i)@@NAMATH_INLINE@@ 보다 작을 확률이 같아지는 값이라는 것을 알 수 있다.따라서 @@NAMATH_INLINE@@Y_i@@NAMATH_INLINE@@의 누적분포함수를 @@NAMATH_INLINE@@G_i@@NAMATH_INLINE@@라고 하면, 공통요인 @@NAMATH_INLINE@@X@@NAMATH_INLINE@@가 주어졌을 때의 @@NAMATH_INLINE@@Z_i@@NAMATH_INLINE@@의 누적분포함수는 @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{array}{l}\text{P}(Z_i \le z(t) | X) &= \text{P}(a_i X +\sqrt{1-a_i^2} Y_i \le z(t) | X)\\ &=\text{P}( Y_i \le \frac{z(t)-a_i X}{\sqrt{1-a_i^2}} | X)\\ &= G_i(\frac{z(t)-a_i X}{\sqrt{1-a_i^2}}) \end{array}@@NAMATH_DISPLAY@@가 되고, 이 식은 다시@@NAMATH_DISPLAY@@\text{P}(T_i \le t | X) = G_i(\frac{H^{-1}(T_i(t))-a_i X}{\sqrt{1-a_i^2}}) @@NAMATH_DISPLAY@@가 되어 각 기업들의 부도 상관관계가 반영된 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@ 번째 회사에서 부도가 발생하는 시간의 조건부 누적분포함수를 구할 수 있다.

부채담보부증권의 가격 결정
과거 부도 데이터 등을 이용하여 부도발생 요인을 나타내는 확률변수의 @@NAMATH_INLINE@@a_i@@NAMATH_INLINE@@를 알게 되면 이를 이용하여 각 기업들의 부도 상관관계가 반영된, 부도가 발생하는 시간의 조건부 누적분포함수를 구할 수 있게 된다.이 조건부 확률은 조건으로 주어지는 공통요인 @@NAMATH_INLINE@@X@@NAMATH_INLINE@@에 대한 적분을 통하여 (조건부가 아닌) 부도가 발생하는 시간의 누적분포함수를 구할 수 있고 이를 바탕으로 부채담보부증권의 각 트랜치의 수익률을 구할 수 있게 된다.

같이 읽기
부채담보부증권, 코퓰러, 가우시안 코퓰러, 정규분포

참고 문헌
전인태, 2013, 『금융공학』, 북스힐.